गणितातील महत्वाची सूत्रे

 

गणितातील महत्वाची सूत्रे

आयत : 

• आयताची परिमीती = 2× (लांबी + रुंदी)
• आयताची क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
• आयताची लांबी = (परिमिती /2) – रुंदी
• आयताची रुंदी = (परिमिती /2) – लांबी
• आयताची रुंदी दुप्पट आणि लांबी अर्धी केल्यास येणारे क्षेत्रफळ हे तेच राहते. 
• आयताची लांबी व रुंदी दोन्हीही दुप्पट केल्यास येणारे क्षेत्रफळ हे चारपट होते.

चौरस-

• चौरासाची परिमिती = 4× बाजूची लांबी
• चौरासाचे क्षेत्रफळ = बाजूचा वर्ग
• चौरासाचे क्षेत्रफळ = कर्णाचा वर्ग / 2
• चौरासाची बाजू देखील दुप्पट केल्यास येणारे क्षेत्रफळ हे चारपट असते.
• दोन चौरसांच्या क्षेत्रफळाचा गुणाकार हा त्याच्या बाजूंच्या मापणाच्या वर्गाच्या पटीत असतो.

समभुज चौकोन-

• समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = कर्णाच्या लांबीचा गुणाकार / 2

समलंब चौकोन-

• समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = समांतर बाजूंच्या लांबीचा बेरीज × लंबांतर /2
• समलंब चौकोनाचे लंबांतर = क्षेत्रफळ × 2/ समांतर बाजूंची लांबीची बेरीज
•  समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजूंची बेरीज = क्षेत्रफळ ×2 / लंबांतर

त्रिकोण-

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = पाया × उंची /2

काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = काटकोन करणाऱ्या बाजूंचा गुणाकार / 2

पायथागोरस सिद्धांत –

काटकोन त्रिकोण : कर्ण^2 = पाया^2 + उंची^2

वर्तुळ –

• त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.
• वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्‍या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात.
• वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो.
• जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.
• व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय.
• वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो.
• वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो.
• वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D
• अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7
• अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36
• वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)
• वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22   
• वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30
• अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2
• अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36
• दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परीघांचे गुणोत्तर.
• दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तर च्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तर च्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते.

घनफळ –

• इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)
• काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची
• गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)
• गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2     
• घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3
• घनचितीची बाजू = ∛घनफळ
• घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते.
• घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2
• वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r2×h
• वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 = घनफळ×7/22×r2
• वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h

बहुभुजाकृती –

• n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0 किंवा [90×(2n-4)]0 असते.
• सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.
• बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4 काटकोन असते.
• n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते.
• सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप
• बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2

दिनदर्शिका –

    एकाच वारी येणारे वर्षातील महत्वाचे दिवस

    @ महाराष्ट्र दिन, गांधी जयंती आणि नाताळ हे दिवस एकाच वारी येतात.

    @ टिळक पुण्यतिथी, स्वातंत्र्यदिन, शिक्षक दिन, बाल दिन हे दिवस एकाच वारी येतात.

तास, मिनिटे, सेकंद यांचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर –

• 1 तास = 60 मिनिटे     
• 0.1 तास = 6 मिनिटे   
• 0.01 तास = 0.6 मिनिटे
• 1 तास = 3600 सेकंद     
• 0.01 तास = 36 सेकंद   
• 1 मिनिट = 60 सेकंद     
• 0.1 मिनिट = 6 सेकंद
• 1 दिवस = 24 तास

= 24 × 60 =1440 मिनिटे = 1440 × 60 = 86400 सेकंद

नाणी –

    एकूण नाणी = एकूण रक्कम × 100 / दिलेल्या नाण्यांच्या पैशांची बेरीज

    एकूण नोटा = पुडक्यातील शेवटच्या नोटचा क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + 1

घडयाळाच्या काटयांतील अंशात्मक अंतर –

• घड्याळातील लगतच्या दोन अंकांतील अंशात्मक अंतर 300 असते.
• दर 1 मिनिटाला मिनिट काटा 60 ने पुढे सरकतो.
• दर 1 मिनिटाला तास काटा (1/2)0 पुढे सरकतो. म्हणजेच 15 मिनिटात तास काटा (7.5)0 ने पुढे सरकतो.
• तास काटा व मिनिट काटा यांच्या वेगतील फरक = 6 –(1/0)0 = 5(1/2) = (11/2)0 म्हणजेच मिनिट काट्यात 10 भरून काढण्यास (2/11) मिनिटे लागतात.

• गाडीचा वेळ, वेग आणि अंतर-

  • गाडीला खांब ओलांडण्यासाठी लागणारा वेळ = (गाडीची लांबी / ताशी वेग) ×18 /5
  • पूल ओलांडण्यासाठी गाडीला लागणारा वेळ = (गाडीची लांबी + पुलाची लांबी / ताशी वेग) × 18/5
  • गाडीचा ताशी वेग = (कापावयाचे एकूण अंतर / लागणारा वेळ) × 18/5
  • गाडीची लांबी = (ताशी वेग × खांब ओलांडताना लागणारा वेळ) × 5/18
  • गाडीची लांबी + पुलाची लांबी = (ताशी वेग × पूल ओलांडताना लागणार वेळ) × 5/18
  • गाडीचा ताशी वेग व वेळ काढताना 18/5 ने गुणा
  • अंतर काढताना 5/18 ने गुणा
  • 1 तास = 3600 सेकंद / (1 की.मी. =1000 मीटर) = 3600 / 1000 = 18/5
  • पाण्याचा प्रवाहाचा ताशी वेग = (नावेचा प्रवाहाच्या दिशेने असणारा ताशी वेग – प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेला नावेचा ताशी वेग) / 2
  • गाडीने कापावयाचे एकूण अंतर – गाडीची लांबी = बोगद्याची लांबी
  • भेटण्यास दुसर्‍या गाडीला लागणारा वेळ = वेळेतील फरक × पहिल्या गाडीचा वेग / वेगातील फरक
  • लागणारा वेळ = एकूण अंतर / दोन गाड्यांच्या वेगांची बेरीज

दशमान परिमाणे –

• 100 कि.ग्रॅ. = 1 क्विंटल
• 10 क्विंटल = 1 टन  
• 1 टन = 1000 कि.ग्रॅ.
• 1000 घनसेंमी = 1 लिटर
• 1 क्युसेक=1000घन लि.   
• 12 वस्तू = 1 डझन  
• 12 डझन = 1 ग्रोस   
• 24 कागद = 1 दस्ता
• 20 दस्ते = 1 रीम    
• 1 रीम = 480 कागद.

• भौमितिक सूत्रे –

समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार

सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2

वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा θ/360×πr2

वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πr

घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2

दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh

अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2

अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )

शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h  

समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2

दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h)

अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2

(S = 1/2 (a+b+c) = अर्ध परिमिती)  

वक्रपृष्ठ = πrl

शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r (r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी